Die große Idee: Jedes Signal lässt sich als Summe einfacher Wellen schreiben (Sinus und Kosinus), jede mit ihrer Frequenz (wie oft sie schwingt), ihrer Amplitude (wie stark sie wiegt) und ihrer Phase (wo sie beginnt). Summierst du genug davon, rekonstruierst du jede beliebige Form: eine Rechteckwelle, eine Musiknote, einen Herzschlag…
Dieses Werkzeug macht genau das mit einer DFT (Diskrete Fourier-Transformation): Es nimmt ein Signal mit 128 Abtastwerten und berechnet, wie viel von jeder Frequenz enthalten ist. Alles wird in deinem Browser berechnet, ohne Server.
Dasselbe Signal wird auf zwei Arten gezeichnet:
• Zeitbereich — das Diagramm „Signal (Zeit)“: der Wert des Signals Moment für Moment, von links nach rechts. So siehst du es normalerweise.
• Frequenzbereich — das Diagramm „Spektrum“: welche Frequenzen es zusammensetzen und mit welcher Stärke, unabhängig von der zeitlichen Reihenfolge.
Die DFT bringt dich vom ersten zum zweiten; es geht keine Information verloren: Es ist dasselbe Signal, nur anders beschrieben. Viele Dinge (Rauschen filtern, komprimieren, Töne erkennen) sind im Frequenzbereich viel leichter zu sehen.
1. Wähle mit den Schaltflächen eine Signalform (Sinus, Rechteck, Sägezahn, Pulse, Chirp).
2. Bewege Frequenz (von 1 bis 8), damit es mehr oder weniger oft schwingt.
3. Sieh dir unten das Spektrum an: jeder Balken ist eine Frequenz; die Höhe ist ihre Magnitude.
4. Erhöhe k Frequenzen (von 1 bis 40) und beobachte die Rekonstruktionslinie über dem Signal: Mit mehr k ähnelt sie stärker dem Original.
Alles wird sofort neu berechnet; die Schaltfläche Zurücksetzen kehrt zu den Standardwerten zurück (Rechteck, Frequenz 3, k = 6).
Jede Form hat ein sehr unterschiedliches Spektrum, und genau darin liegt der Reiz:
• Sinus — eine einzige reine Frequenz: sin(2π·f·t). Im Spektrum erscheint nur ein Balken.
• Rechteck — springt zwischen +1 und −1. Braucht unendlich viele ungerade Oberschwingungen: deshalb hat das Spektrum viele Balken, die allmählich abklingen.
• Sägezahn — steigt rampenförmig an und fällt abrupt ab; reich an Oberschwingungen.
• Pulse — ein sich wiederholender kurzer Spitzenwert; sein Spektrum ist sehr breit.
• Chirp — ein Sinus, dessen Frequenz mit der Zeit ansteigt (sin(2π·(f·t + 6·t²))), wie ein Sweep oder Vogelgesang.
Das Spektrum zeigt die Magnitude jeder Frequenz (gezeichnet werden die ersten 64, die nutzbare Hälfte der 128). Ein hoher Balken links = starke niedrige Frequenz; Balken rechts = feines Detail und Kanten.
Die Steuerung k Frequenzen behält nur die k höchsten Balken und rekonstruiert das Signal daraus (inverse Transformation). Schon mit sehr wenigen nähert es sich dem Original an: Das ist die Idee der verlustbehafteten Kompression (JPEG, MP3), die die Frequenzen verwirft, die kaum ins Gewicht fallen. Bei der Rechteckwelle siehst du das Gibbs-Phänomen: Wellen an den Sprüngen, die auch bei höherem k nicht verschwinden.
Mit wenigen Frequenzen lässt sich das Signal bereits rekonstruieren (die Idee hinter der JPEG-/MP3-Kompression). Die Rechteckwelle zeigt das Gibbs-Überschwingen. Die FFT ist die Grundlage der Audioverarbeitung und der Bildanalyse.